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据结构与算法学习-最短路径

2022-06-22 22:16:23


在算法中计算最短路径有两个比较著名的算法:Dijkstra算法和Floyd算法1、Dijkstra算法Dijkstra算法设计3个数组来保存相应的数据并实施更新,从而达到找到最短路径的目的:Dijkstra算法@2x.png代码实现:#de


最短路径顾名思义就是两个点之间所需花费最短的那个路径。在算法中计算最短路径有两个比较著名的算法:Dijkstra算法和Floyd算法

1、Dijkstra算法

Dijkstra算法设计3个数组来保存相应的数据并实施更新,从而达到找到最短路径的目的:


Dijkstra算法@2x.png

代码实现:

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;
typedef struct
{
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/*用于存储最短路径下标的数组*/
typedef int Patharc[MAXVEX];
/*用于存储到各点最短路径权值的和*/
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];

/*10.1 创建邻近矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    G->numEdges=16;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        G->vexs[i]=i;
    }
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=1;
    G->arc[0][2]=5;
    G->arc[1][2]=3;
    G->arc[1][3]=7;
    G->arc[1][4]=5;
    
    G->arc[2][4]=1;
    G->arc[2][5]=7;
    G->arc[3][4]=2;
    G->arc[3][6]=3;
    G->arc[4][5]=3;
    
    G->arc[4][6]=6;
    G->arc[4][7]=9;
    G->arc[5][7]=5;
    G->arc[6][7]=2;
    G->arc[6][8]=7;
    
    G->arc[7][8]=4;
    
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

/*10.2 求得网图中2点间最短路径
 Dijkstra 算法
 G: 网图;
 v0: V0开始的顶点;
 p[v]: 前驱顶点下标;
 D[v]: 表示从V0到V的最短路径长度和;
 */
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
    int v,w,k,min;
    k = 0;
    /*final[w] = 1 表示求得顶点V0~Vw的最短路径*/
    int final[MAXVEX];
    
    /*1.初始化数据*/
    for(v=0; v<G.numVertexes; v++)
    {
        //全部顶点初始化为未知最短路径状态0
        final[v] = 0;
        //将与V0 点有连线的顶点最短路径值;
        (*D)[v] = G.arc[v0][v];
        //初始化路径数组p = 0;
        (*P)[v] = 0;
    }
    
    //V0到V0的路径为0
    (*D)[v0] = 0;
    //V0到V0 是没有路径的.
    final[v0] = 1;
    //v0到V0是没有路径的
    (*P)[v0] = -1;
    
  
    
    //2. 开始主循环,每次求得V0到某个顶点的最短路径
    for(v=1; v<G.numVertexes; v++)
    {
        
        //当前所知距离V0顶点最近的距离
        min=INFINITYC;
        /*3.寻找离V0最近的顶点*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
        {
            if(!final[w] && (*D)[w]<min)
            {
                k=w;
                //w顶点距离V0顶点更近
                min = (*D)[w];
            }
        }
        
        //将目前找到最近的顶点置为1;
        final[k] = 1;
        
        /*4.把刚刚找到v0到v1最短路径的基础上,对于v1 与 其他顶点的边进行计算,得到v0与它们的当前最短距离;*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
        {
            //如果经过v顶点的路径比现在这条路径长度短,则更新
            if(!final[w] && (min + G.arc[k][w]<(*D)[w]))
            {
                //找到更短路径, 则修改D[W],P[W]
                //修改当前路径的长度
                (*D)[w] = min + G.arc[k][w];
                (*P)[w]=k;
            }
        }
    }
}

2、Floyd算法

Floyd算法是通过中间点的思想来找到最短路径。
D0[v][w]=min{ D-1 [v][w],D-1[v][0]+D-1 [0][w]}
代码实现:

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */

typedef struct
{
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];

/* 11.1 构成邻近矩阵 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=16;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        G->vexs[i]=i;
    }
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=1;
    G->arc[0][2]=5;
    G->arc[1][2]=3;
    G->arc[1][3]=7;
    G->arc[1][4]=5;
    
    G->arc[2][4]=1;
    G->arc[2][5]=7;
    G->arc[3][4]=2;
    G->arc[3][6]=3;
    G->arc[4][5]=3;
    
    G->arc[4][6]=6;
    G->arc[4][7]=9;
    G->arc[5][7]=5;
    G->arc[6][7]=2;
    G->arc[6][8]=7;
    
    G->arc[7][8]=4;
    
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

/* 11. 2
 Floyd算法,求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。
 Patharc 和 ShortPathTable 都是二维数组;
 */
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
    int v,w,k;
    
    /* 1. 初始化D与P 矩阵*/
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            /* D[v][w]值即为对应点间的权值 */
            (*D)[v][w]=G.arc[v][w];
             /* 初始化P P[v][w] = w*/
            (*P)[v][w]=w;
        }
    }
    
    //2.K表示经过的中转顶点
    for(k=0; k<G.numVertexes; ++k)
    {
        for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
        {
            for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
            {
                /*如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */
                if ((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
                {
                    /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
                    (*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];
                    /* 路径设置为经过下标为k的顶点 */
                    (*P)[v][w]=(*P)[v][k];
                }
            }
        }
    }
}